Addition und Subtraktion von Matrizen

 

>>A = [9,2,5;2,5,2;8,4,3];

>>B = [2,8,3;7,9,0;2,1,8];


>>ABplus = A+B

>>ABminus = A-B

 

Bei der Addition und Subtraktion von Matrizen werden die sich entsprechenden Elemente in den Matrizen miteinander verrechnet. Es können folglich nur Matrizen gleicher Dimension addiert oder subtrahiert werden. Eine Ausnahme hieraus bilden einzelne Zahlen, sogenannte Skalare. Diese stellen an sich Matrizen mit der Dimension [1x1] dar.

 

>>A = A + 1;

 

 

 

Multiplikation von Matrizen

 

Die Multiplikation zweier Matrizen ist nur möglich, wenn die innere Dimension der Matrizen übereinstimmt. Das heißt, wenn A eine NxM-Matrix und B eine IxJ-Matrix ist, müssen im Falle der Multiplikation A*B die Dimensionen M und I gleich sein. Wie bereits im Kapitel der Vektoren bemerkt, sind Vektoren ein spezieller Fall einer Matrix und es gelten für sie die selben Rechenregeln.

 

>> A = [7 2 3;4 3 6;8 1 5];
>> B = [1 4 2;6 7 5;1 9 1];
>> AB_multi = A*B

AB_multi =

22 69 27
28 91 29
19 84 26

Wie ein Vektor kann auch eine Matrix mit einem Skalar multipliziert werden.

 

>>A_skalar = A*20

A_skalar =

140 40 60
80 60 120
160 20 100

 

Division von Matrizen

 

Die Division einer Matrix ist nicht auf direktem Weg möglich. Im Gegensatz zur Divison rationaler Zahlen muss zur Berechnung der Division zweier Matrizen ein Gleichungssystem gelöst werden. Hierbei unterscheidet Matlab zwischen der Division von links (/) und von rechts (\).

 

Bei der Divison von links ist das Gleichungssystem X1 * B = A zu lösen.

 

>> A = [1 1 1];
>> B = [2 2 2];
>> X1 = A/B

X1 =

0.5000

 

Für die Divison von rechts ist das Gleichungssystem B * X2 = A zu lösen

 

>> X2 = B\A

X2 =

0.5000 0.5000 0.5000
0 0 0
0 0 0

 

Elementweise Multiplikation und Division

 

Die Multiplikation und Division kann auch elementweise auf einer Matrix ausgeführt werden. Daneben kann auch die Potenz elementweise ausgeführt werden. Um statt der arithmetischen Operation die elementweise auszuführen wird von ein Punkt vorgesetzt. Es ergeben sich die Operatoren .*, ./ , .\ , .^ . Da Addition und Subtraktion bereits elementweise ausgeführt werden, ist hier die Notation nicht nötig.

 

Als Beispiel dienen Ihnen die zwei Matrizen A und B:

A = [2 7 6;8 9 10];
B = [6 4 3;2 3 4];


Die elementweise Multiplikation von A mit B ergibt:

>> C = A.*B

C =

12 28 18
16 27 40

 Für die elementweise Multiplikation müssen die Matrizen die gleichen Dimensionen haben. Es entsteht wieder eine Matrix gleicher Dimensionen nach der Multiplikation.

 

Bei der Divison von links wird das Element A(1,1) durch das Element B(1,1)  dividiert. Im Gegensatz dazu wird bei der Division von rechts das Element B(1,1) durch das Element A(1,1) dividiert.

>> D = A./B

D =

0.3333 1.7500 2.0000
4.0000 3.0000 2.5000

>> E = A.\B

E =

3.0000 0.5714 0.5000
0.2500 0.3333 0.4000